Basicamente include e require fazem a mesma função no PHP, a diferença está quando acontece uma falha. No caso do include quando acontecer uma falha um aviso (E_WARNING) será exibido e a execução do script seguirá, já usando o require um erro fatal irá acontecer (E_COMPILE_ERROR) e o script será interrompido.

As variações include_once e require_once verificam se a inclusão do arquivo já foi feita, em caso positivo não incluirá novamente evitando erros de redeclarações de funções e valores de variáveis.

Fontes:
https://www.php.net/manual/pt_BR/function.include.php
https://www.php.net/manual/pt_BR/function.include-once.php
https://www.php.net/manual/pt_BR/function.require.php
https://www.php.net/manual/pt_BR/function.require-once.php